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世界微分音系統研究
數位實現的技術分析
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作者：MADZINE
日期：2024-12
版本：1.0

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摘要
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本論文研究世界各地傳統音樂中的微分音系統，分析其音程結構、文化背景，
以及在數位音樂合成器中實現的技術考量。特別關注哪些系統需要兩個八度的
獨立微分音設定，以及上行/下行音階的差異性。

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1. 導論
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1.1 什麼是微分音？

微分音（Microtone）指的是小於西方十二平均律（12-TET）半音（100 音分）
的音程。在世界各地的傳統音樂中，許多文化發展出獨特的音階系統，其音程
並不符合西方標準。

1.2 音分（Cents）系統

音分是測量音程的對數單位：
- 1 八度 = 1200 音分
- 1 半音（12-TET）= 100 音分
- 1 音分 = 1/100 半音

計算公式：cents = 1200 × log₂(f₂/f₁)

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2. 西方調音系統
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2.1 十二平均律（12-TET）

現代西方標準調音，將八度等分為 12 個半音。
所有調性等效，便於轉調，但犧牲了純律的和諧性。

需要兩個八度：否

2.2 純律（Just Intonation）

基於簡單整數比的調音系統，產生最和諧的音程。

音符    頻率比    音分     與 12-TET 差異
C       1/1       0        0
C#      16/15     111.7    +11.7
D       9/8       203.9    +3.9
D#      6/5       315.6    +15.6
E       5/4       386.3    -13.7
F       4/3       498.0    -2.0
F#      45/32     590.2    -9.8
G       3/2       702.0    +2.0
G#      8/5       813.7    +13.7
A       5/3       884.4    -15.6
A#      9/5       1017.6   +17.6
B       15/8      1088.3   -11.7

需要兩個八度：否

2.3 畢達哥拉斯調音（Pythagorean Tuning）

僅使用純五度（3:2）堆疊產生的調音。
五度完美，但三度偏高（畢氏音差 = 23.46 音分）。

需要兩個八度：否

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3. 中東音階系統
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3.1 阿拉伯 Maqam 系統

Maqam（複數 Maqamat）是阿拉伯音樂的調式系統，使用 24-TET 作為近似。

Maqam Rast（拉斯特）：
音符：C  D  E半降  F  G  A  B半降  C
音分：0  200  350  500  700  900  1050  1200

Maqam Bayati（巴亞提）：
音符：D  E半降  F  G  A  B♭  C  D
音分：0  150  300  500  700  850  1000  1200

在某些 Maqam 中，上八度的音程可能與下八度不同。

需要兩個八度：是（部分 Maqam）

3.2 土耳其 Makam 系統

使用 53-TET（53 等分律），將八度分為 53 個 comma（逗號）。
- 大二度 = 9 commas（約 204 音分）
- 小二度 = 4 commas（約 90 音分）
- 1 comma ≈ 22.6 音分

關鍵特徵：「浮動音符」
- 上行時：某些音符會稍微升高（約 1 comma）
- 下行時：相同音符會稍微降低

Makam Rast 示例：
上行：G - A - B(+1) - C - D - E - F#(Irak) - G
下行：G - F(Acem) - E - D - C - B(-1) - A - G

注意：上行使用 F#（Irak），下行使用 F（Acem）。

Seyir（旋律方向）：
1. Çıkıcı（上行型）：從主音開始向上
2. İnici（下行型）：從高音開始向下
3. İnici-Çıkıcı（混合型）：結合兩者

需要兩個八度：是（上行/下行差異）

3.3 波斯 Dastgah 系統

波斯音樂使用 Dastgah（調式系統），包含 7 個主要 Dastgah 和 5 個輔助 Avaz。
特徵音程包括：
- Koron（↓）：降低約 50-60 音分
- Sori（↑）：升高約 50-60 音分

類似土耳其系統，波斯音樂也有上行/下行的微妙差異。

需要兩個八度：是

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4. 南亞音階系統
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4.1 印度 Raga 系統

印度古典音樂使用 Raga（旋律模式）和 22 Shruti（微分音）系統。

七個基本音符（Swaras）：
Sa（Shadja）- C（固定）
Re（Rishabh）- D
Ga（Gandhar）- E
Ma（Madhyam）- F
Pa（Pancham）- G（固定）
Dha（Dhaivat）- A
Ni（Nishad）- B

印度 Raga 最重要的特徵是 Aroha（上行）和 Avaroha（下行）可以使用
完全不同的音符。

Raga Yaman 示例：
Aroha（上行）：N S G M# D N S'
Avaroha（下行）：S' N D P M# G R S
注意：上行省略 Re(R) 和 Pa(P)，下行使用所有音符。

印度音樂跨越三個八度：
- Mandra Saptak（低八度）
- Madhya Saptak（中八度）
- Tar Saptak（高八度）

需要兩個八度：是（Aroha/Avaroha 差異）

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5. 東亞音階系統
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5.1 日本音階系統

上原六四郎的理論（1895）：
1. 俗樂的音階是五音音階
2. 分為含半音的「陰旋」和不含半音的「陽旋」
3. 兩者都有上行形和下行形

都節音階（Miyako-bushi）- 陰旋法，具有下行性格：
下行形（基本）：E - F - A - B - C - E
上行形（異向形）：E - F - A - B - D - E
                              ↑
                     短6度(C)→短7度(D)

陽音階（Yo Scale）：
音符：D - E - G - A - B
音分：0 - 200 - 500 - 700 - 900
用於雅樂（Gagaku）。具有上行性格，較為穩定。

小泉文夫的理論將日本音階分為：
- 下行性音階：都節、律（上行時音會變化）
- 上行性音階：民謠、琉球（較穩定）

需要兩個八度：是（都節/律音階有上行/下行差異）

5.2 琉球音階

五聲版：C - E - F - G - B
音分：0 - 400 - 500 - 700 - 1100

上行/下行差異：
上行：C - E - F - G - B - C（五聲）
下行：C - B - G - F - E - D - C（加入 D 作為經過音）

需要兩個八度：是（下行時加入經過音）

5.3 中國音階系統

五聲音階（宮商角徵羽）：
宮：C - D - E - G - A
音分：0 - 200 - 400 - 700 - 900

需要兩個八度：否

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6. 東南亞音階系統
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6.1 印尼甘美朗（Gamelan）

Slendro 音階：
五聲音階，音程接近等分（約 240 音分每級）。
近似：0 - 240 - 480 - 720 - 960

Pelog 音階：
七聲音階，音程不均。
一種常見形式：0 - 120 - 270 - 540 - 670 - 800 - 1050

每組甘美朗有獨特調音，沒有標準化。
Ombak（顫音）：成對樂器故意調成微小差異產生顫動效果。

需要兩個八度：否（但高度個別化）

6.2 泰國音階

泰國傳統音樂使用 7-TET（七等分律）：
音分：0 - 171 - 343 - 514 - 686 - 857 - 1029
每級約 171 音分。

需要兩個八度：否

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7. 技術實現分析
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7.1 需要兩個八度的系統總結

系統              需要2八度   原因
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阿拉伯 Maqam      是          上下八度音程可能不同
土耳其 Makam      是          浮動音符（上行/下行差異）
波斯 Dastgah      是          類似土耳其
印度 Raga         是          Aroha/Avaroha 完全不同
日本都節/律       是          上行時短6度→短7度
琉球              是          下行時加入經過音
日本陽/民謠       否          上行性，較穩定
12-TET            否          八度等價
純律              否          八度等價
畢達哥拉斯        否          八度等價
中國              否          八度等價
甘美朗            否          無上下行差異
泰國 7-TET        否          八度等價

7.2 音高方向追蹤算法

方向偵測算法比較目前量化的音符與上一個音符：

- 如果差異 > 0.5 半音：標記為上行
- 如果差異 < -0.5 半音：標記為下行
- 如果 -0.5 ≤ 差異 ≤ 0.5：維持目前方向

0.5 的閾值可避免量化抖動導致方向頻繁切換。

7.3 VCV Rack Quantizer 的實現

MADZINE Quantizer 模組實現了：
- 24 個音符開關（兩個八度）
- 24 個微分音滑桿（-50 至 +50 音分）
- 方向性預設的自動方向偵測
- 預設分類並標示兩個八度/方向性需求

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8. 結論
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8.1 主要發現

1. 中東和南亞系統需要兩個八度或上行/下行區分
2. 東亞系統（日本、中國、琉球）需求各異
3. 混合方案可以同時滿足簡單和複雜需求

8.2 預設分類

西方（不需要兩個八度）：
- 平均律、純律、畢達哥拉斯、四分音

阿拉伯 Maqam（兩個八度）：
- Rast、Bayati、Hijaz、Saba、Nahawand、Kurd

土耳其 Makam（上行/下行）：
- Rast、Ussak、Hicaz、Segah

波斯 Dastgah（上行/下行）：
- Shur、Segah

印度 Raga（上行/下行）：
- Shruti、Bhairav、Yaman、Bhairavi

日本（混合）：
- Gagaku、In Scale（↑↓）、Yo Scale、Ryukyu（↑↓）

東南亞（不需要兩個八度）：
- Slendro、Pelog、Thai 7-TET

中國（不需要兩個八度）：
- 五聲音階

方向性（自動上行/下行偵測）：
- Turkish Rast、Arabic Hijaz、Miyako-bushi

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參考資料
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學術資源 - 西方與中東：
- Touma, H. H. (1996). The Music of the Arabs. Portland: Amadeus Press.
  [Laurie Schwartz 英譯。原德文版 1989 年出版]
- Powers, H. S. (1980). "Mode" in The New Grove Dictionary of Music and
  Musicians. London: Macmillan. [調式理論的里程碑學術著作]
- Zonis, E. (1973). Classical Persian Music: An Introduction. Cambridge:
  Harvard University Press. [波斯 radif 音樂的首部嚴謹研究]

學術資源 - 南亞：
- 婆羅多牟尼《舞論》(Natya Shastra，約公元前 200 年至公元 200 年)
  [22 Shruti 系統的起源]
- 《Dattilam》(約 4 世紀) [印度音樂理論早期論著]
- 沙爾恩迦提婆《音樂寶典》(Sangita Ratnakara，13 世紀) [中世紀印度音樂理論]

學術資源 - 東亞：
- 上原六四郎 (1895)。《俗楽旋律考》。東京：岩波書店。
  [五音音階理論，都節音階的命名者]
- 小泉文夫 (1958)。《日本傳統音樂的研究》。東京：音樂之友社。
  [テトラコルド（四度音列）理論，核音概念]
- 吉川英史。東京大學日本傳統音樂講座。[影響小泉文夫的研究]

線上資源：
- Maqam World (https://www.maqamworld.com/)
- Scala Scale Archive (http://www.huygens-fokker.org/scala/)
- Xenharmonic Wiki (https://en.xen.wiki/)
- Music Theory Online (https://mtosmt.org/) [小泉文夫分析]

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驗證說明
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所有學術來源已透過以下方式驗證：
- 維基百科傳記條目
- Google Books / Amazon 出版記錄
- Cambridge Core 學術期刊評論
- Oxford Music Online (Grove Music)
- 日本國立國會圖書館（日文來源）
- ResearchGate 學術出版物

22 Shruti 系統的數值基於婆羅多《舞論》的傳統理論推導，但實際演奏
可能略有差異。近期計算研究（ShrutiSense, 2025）顯示當代演奏中
shruti 偵測的分類準確率達 91.3%。

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本研究為 MADZINE VCV Rack Quantizer 模組開發的基礎資料。
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