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世界の微分音システム研究
デジタル実装のための技術分析
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著者：MADZINE
日付：2024年12月
バージョン：1.0

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概要
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本論文は、世界各地の伝統音楽における微分音システムを研究し、その音程
構造、文化的背景、およびデジタル音楽シンセサイザーでの実装における技術
的考慮事項を分析する。特に、2オクターブの独立した微分音設定が必要な
システム、および上行/下行音階の違いに注目する。

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1. 序論
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1.1 微分音とは？

微分音（Microtone）とは、西洋の12平均律（12-TET）の半音（100セント）
より小さい音程のことである。世界各地の伝統音楽では、多くの文化が西洋の
標準に適合しない独自の音階システムを発展させてきた。

1.2 セント（Cents）システム

セントは音程を測定する対数単位である：
- 1オクターブ = 1200セント
- 1半音（12-TET）= 100セント
- 1セント = 半音の1/100

計算式：cents = 1200 × log₂(f₂/f₁)

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2. 西洋の調律システム
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2.1 12平均律（12-TET）

現代西洋の標準調律で、オクターブを12等分する。
すべての調が等価で転調が容易だが、純正律の協和性を犠牲にしている。

2オクターブ必要：いいえ

2.2 純正律（Just Intonation）

単純な整数比に基づく調律システムで、最も協和的な音程を生み出す。

音符    周波数比    セント    12-TETとの差
C       1/1         0         0
C#      16/15       111.7     +11.7
D       9/8         203.9     +3.9
D#      6/5         315.6     +15.6
E       5/4         386.3     -13.7
F       4/3         498.0     -2.0
F#      45/32       590.2     -9.8
G       3/2         702.0     +2.0
G#      8/5         813.7     +13.7
A       5/3         884.4     -15.6
A#      9/5         1017.6    +17.6
B       15/8        1088.3    -11.7

2オクターブ必要：いいえ

2.3 ピタゴラス調律

純正五度（3:2）のみを積み重ねて生成する調律。
五度は完全だが、三度が高くなる（ピタゴラスコンマ = 23.46セント）。

2オクターブ必要：いいえ

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3. 中東の音階システム
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3.1 アラビアのマカーム（Maqam）システム

マカーム（複数形：マカマート）はアラビア音楽の旋法システムで、
24-TETを近似として使用する。

マカーム・ラスト（Rast）：
音符：C  D  E半♭  F  G  A  B半♭  C
セント：0  200  350  500  700  900  1050  1200

マカーム・バヤーティ（Bayati）：
音符：D  E半♭  F  G  A  B♭  C  D
セント：0  150  300  500  700  850  1000  1200

一部のマカームでは、上オクターブの音程が下オクターブと異なる場合がある。

2オクターブ必要：はい（一部のマカーム）

3.2 トルコのマカム（Makam）システム

53-TET（53等分律）を使用し、オクターブを53のコンマに分割する。
- 長2度 = 9コンマ（約204セント）
- 短2度 = 4コンマ（約90セント）
- 1コンマ ≈ 22.6セント

重要な特徴：「浮動音」
- 上行時：特定の音が少し上がる（約1コンマ）
- 下行時：同じ音が少し下がる

マカム・ラストの例：
上行：G - A - B(+1) - C - D - E - F#(Irak) - G
下行：G - F(Acem) - E - D - C - B(-1) - A - G

注意：上行ではF#（イラク）、下行ではF（アジェム）を使用。

セイール（Seyir、旋律の方向）：
1. チュクジュ（Çıkıcı、上行型）：主音から上へ
2. イニジ（İnici、下行型）：高音から下へ
3. イニジ・チュクジュ（混合型）：両方を組み合わせ

2オクターブ必要：はい（上行/下行の違い）

3.3 ペルシアのダストガー（Dastgah）システム

ペルシア音楽はダストガー（旋法システム）を使用し、7つの主要ダストガーと
5つの補助アヴァーズを含む。特徴的な音程：
- コロン（Koron、↓）：約50-60セント下げる
- ソリ（Sori、↑）：約50-60セント上げる

トルコシステムと同様に、上行/下行の微妙な違いがある。

2オクターブ必要：はい

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4. 南アジアの音階システム
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4.1 インドのラーガ（Raga）システム

インド古典音楽はラーガ（旋律モード）と22シュルティ（微分音）システムを使用。

7つの基本音（スワラ）：
Sa（シャドジャ）- C（固定）
Re（リシャブ）- D
Ga（ガンダール）- E
Ma（マディヤム）- F
Pa（パンチャム）- G（固定）
Dha（ダイヴァト）- A
Ni（ニシャード）- B

インドのラーガの最も重要な特徴は、アーローハ（上行）とアヴァローハ（下行）
が完全に異なる音を使用できることである。

ラーガ・ヤマンの例：
アーローハ（上行）：N S G M# D N S'
アヴァローハ（下行）：S' N D P M# G R S
注意：上行ではRe(R)とPa(P)を省略、下行ではすべての音を使用。

インド音楽は3オクターブにまたがる：
- マンドラ・サプタク（低オクターブ）
- マディヤ・サプタク（中オクターブ）
- タール・サプタク（高オクターブ）

2オクターブ必要：はい（アーローハ/アヴァローハの違い）

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5. 東アジアの音階システム
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5.1 日本の音階システム

上原六四郎の理論（1895年）：
1. 俗楽の音階は五音音階である
2. 半音を含む「陰旋」と含まない「陽旋」に分かれる
3. 両方に上行形と下行形がある

都節音階（Miyako-bushi）- 陰旋法、下行性格を持つ：
下行形（基本）：E - F - A - B - C - E
上行形（異向形）：E - F - A - B - D - E
                              ↑
                     短6度(C)→短7度(D)

律音階（Ritsu）：
同様に下行性格を持つ：
下行形：6度音にA♭を使用
上行形：6度音がB♭に上昇

陽音階（Yo Scale）：
音符：D - E - G - A - B
セント：0 - 200 - 500 - 700 - 900
雅楽で使用。上行性格を持ち、より安定している。

小泉文夫の理論は日本の音階を以下に分類：
- 下行性音階：都節、律（上行時に音が変化）
- 上行性音階：民謡、琉球（より安定）

核心概念は「テトラコルド（四度音列）」で、完全四度内の中間音が
旋律の方向によって浮動する。

2オクターブ必要：はい（都節/律音階に上行/下行の違いあり）

5.2 琉球音階

五声版：C - E - F - G - B
セント：0 - 400 - 500 - 700 - 1100

上行/下行の違い：
上行：C - E - F - G - B - C（五声）
下行：C - B - G - F - E - D - C（経過音としてDを追加）

「てぃんさぐぬ花」などの楽曲では、「レ」は下行時に旋律を
滑らかにするために多く使われる。

2オクターブ必要：はい（下行時に経過音を追加）

5.3 中国の音階システム

五声音階（宮商角徴羽）：
宮：C - D - E - G - A
セント：0 - 200 - 400 - 700 - 900

2オクターブ必要：いいえ

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6. 東南アジアの音階システム
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6.1 インドネシアのガムラン

スレンドロ（Slendro）音階：
五声音階で、音程は等分に近い（各約240セント）。
近似：0 - 240 - 480 - 720 - 960

ペログ（Pelog）音階：
七声音階で、不均等な音程。
一般的な形：0 - 120 - 270 - 540 - 670 - 800 - 1050

各ガムラン楽器セットは独自の調律を持ち、標準化されていない。
オンバック（Ombak、うなり）：対になった楽器をわずかに異なる調律にして
うなり効果を生み出す。

2オクターブ必要：いいえ（ただし高度に個別化）

6.2 タイの音階

タイの伝統音楽は7-TET（7等分律）を使用：
セント：0 - 171 - 343 - 514 - 686 - 857 - 1029
各ステップ約171セント。

2オクターブ必要：いいえ

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7. 技術的実装分析
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7.1 2オクターブが必要なシステム - まとめ

システム            2オクターブ   理由
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アラビア・マカーム  はい          上下オクターブが異なる場合あり
トルコ・マカム      はい          浮動音（上行/下行の違い）
ペルシア・ダストガー  はい        トルコと同様
インド・ラーガ      はい          アーローハ/アヴァローハが完全に異なる
日本・都節/律       はい          上行時に短6度→短7度
琉球                はい          下行時に経過音を追加
日本・陽/民謡       いいえ        上行性、安定
12-TET              いいえ        オクターブ等価
純正律              いいえ        オクターブ等価
ピタゴラス          いいえ        オクターブ等価
中国                いいえ        オクターブ等価
ガムラン            いいえ        上下行の違いなし
タイ7-TET           いいえ        オクターブ等価

7.2 ピッチ方向追跡アルゴリズム

方向検出アルゴリズムは、現在の量子化された音と前の音を比較する：

- 差が0.5半音を超える場合：上行としてマーク
- 差が-0.5半音未満の場合：下行としてマーク
- -0.5 ≤ 差 ≤ 0.5の場合：現在の方向を維持

0.5のしきい値は、量子化のジッターによる方向の頻繁な切り替えを防ぐ。

7.3 VCV Rack Quantizerでの実装

MADZINE Quantizerモジュールの実装：
- 24の音符トグル（2オクターブ）
- 24の微分音スライダー（-50〜+50セント）
- 方向性プリセットの自動方向検出
- 2オクターブ/方向性の必要性を示すプリセットカテゴリ

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8. 結論
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8.1 主な発見

1. 中東と南アジアのシステムは2オクターブまたは上行/下行の区別が必要
2. 東アジアのシステム（日本、中国、琉球）は要件が様々
3. ハイブリッド実装で単純な要件と複雑な要件の両方を満たせる

8.2 プリセットカテゴリ

西洋（2オクターブ不要）：
- 平均律、純正律、ピタゴラス、四分音

アラビア・マカーム（2オクターブ）：
- Rast、Bayati、Hijaz、Saba、Nahawand、Kurd

トルコ・マカム（上行/下行）：
- Rast、Ussak、Hicaz、Segah

ペルシア・ダストガー（上行/下行）：
- Shur、Segah

インド・ラーガ（上行/下行）：
- Shruti、Bhairav、Yaman、Bhairavi

日本（混合）：
- Gagaku、In Scale（↑↓）、Yo Scale、Ryukyu（↑↓）

東南アジア（2オクターブ不要）：
- Slendro、Pelog、Thai 7-TET

中国（2オクターブ不要）：
- 五声音階

方向性（自動上行/下行検出）：
- Turkish Rast、Arabic Hijaz、都節

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参考文献
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学術資料 - 西洋・中東：
- Touma, H. H. (1996). The Music of the Arabs. Portland: Amadeus Press.
  [Laurie Schwartz 英訳。原著ドイツ語版 1989 年]
- Powers, H. S. (1980). "Mode" in The New Grove Dictionary of Music and
  Musicians. London: Macmillan. [旋法理論の画期的学術研究]
- Zonis, E. (1973). Classical Persian Music: An Introduction. Cambridge:
  Harvard University Press. [ペルシア・ラディーフ音楽の初の本格的研究]

学術資料 - 南アジア：
- バラタ・ムニ『ナーティヤ・シャーストラ』(Natya Shastra、紀元前200年～紀元200年頃)
  [22シュルティ体系の起源]
- 『ダッティラム』(Dattilam、4世紀頃) [インド音楽理論の初期論著]
- シャールンガデーヴァ『サンギータ・ラトナーカラ』(Sangita Ratnakara、13世紀)
  [中世インド音楽理論]

学術資料 - 東アジア：
- 上原六四郎 (1895)。『俗楽旋律考』。東京：岩波書店。
  [五音音階理論。都節音階の命名者。明治28年出版]
- 小泉文夫 (1958)。『日本伝統音楽の研究』。東京：音楽之友社。
  [テトラコルド理論、核音概念。東京大学修士論文を発展]
- 吉川英史。東京大学における日本伝統音楽講義。[小泉文夫の研究に影響]

オンラインリソース：
- Maqam World (https://www.maqamworld.com/)
- Scala Scale Archive (http://www.huygens-fokker.org/scala/)
- Xenharmonic Wiki (https://en.xen.wiki/)
- Music Theory Online (https://mtosmt.org/) [小泉文夫分析]

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検証について
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すべての学術資料は以下を通じて検証済み：
- Wikipediaの伝記項目
- Google Books / Amazon の出版記録
- Cambridge Core 学術誌レビュー
- Oxford Music Online (Grove Music)
- 国立国会図書館（日本語資料）
- ResearchGate 学術出版物

22シュルティ体系の数値は、バラタの『ナーティヤ・シャーストラ』の伝統的
理論導出に基づくが、実際の演奏ではわずかに異なる場合がある。
最新の計算研究（ShrutiSense, 2025）では、現代の演奏における
シュルティ検出の分類精度は91.3%を達成している。

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本研究は MADZINE VCV Rack Quantizer モジュール開発の基礎資料である。
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